Связанные определения
Элементы трапеции
- Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
- Две другие стороны называются боковыми сторонами .
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
- Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Виды трапеций
Прямоугольная трапеция
Равнобедренная трапеция
- Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной .
- Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Общие свойства
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
- Параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
- Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.
- В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
- В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
- Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
- Около равнобедренной трапеции можно описать окружность .
- Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная и описанная окружность
Площадь
Эти формулы - одинаковы, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции.
Поэтому одну из них мы назовем большим
, вторую - малым основанием
трапеции. Высотой
трапеции можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершин на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятыми вершиной и противоположной стороной. Но можно выделить "особый вид" высот.
Определение 8.
Высотой основания трапеции называют отрезок прямой, перпендикулярной основаниям, заключенный между основаниями.
Теорема 7
. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, ∠
ВСМ=∠
МDР - накрестлежащие, ∠
ВМС=∠
DМР - вертикальные), поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР:
Теорема 8
. Диагонали делят трапецию на четыре части, две из которых, прилежащие к боковым сторонам, равовелики.
Напомню, что фигуры называются равновеликими, если у них одинаковая площадь. Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты (обозначенные желтым) и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD. Их площадь можно разложить так:
Виды трапеций:
Определение 9.
(рис 1) Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилегающие к большему основанию острые.
Определение 10.
(рис 2) Тупоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов, прилегающих к большему основанию тупой.
Определение 11.
(рис 4) Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Определение 12.
(рис 3) Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойства равнобокой трапеции:
Теорема 10
. Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобокой трапеции, равны.
Доказательство. Докажем, например, равенство углов А и D при большем основании AD равнобокой трапеции АВСD. Для этой цели проведем через точку С прямую параллельную боковой стороне АВ.
Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ являеся параллелограммом, т.к. по построению имеет две пары параллельных сторон. Следовательно, отрезок СМ секущей прямой, заключенный внутри трапеции
равен её боковой стороне: СМ=АВ. Отсюда ясно, что СМ=СD, треугольник СМD - равнобедренный, ∠
СМD=∠
СDM, и, значит, ∠
А=∠
D.
Углы, прилежащие к меньшему основанию, также равны, т.к. являются для найденных внутренними односторонним и имеют в сумме два прямых.
Теорема 11
. Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD - общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому АС=BD.
Теорема 13
. Диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные отрезки.
Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD - общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому ∠
ОАD=∠
ОDA, отсюда равны и углы ОВС и ОСВ как соответственно накрестлежащие для углов ODA и ОАD. Вспомним теорему: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный, поэтому треугольники ОВС и ОAD являются равнобедренными, значит, ОС=ОВ и ОА=OD, ч.т.д.
Равнобокая трапеция фигура симметричная.
Определение 13.
Осью сисмметрии равнобокой трапеции называют прямую, проходящую через середины её оснований.
Теорема 14
. Ось сисмметрии равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям.
В теореме 9 мы доказали, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей. Далее (теорема 13) мы доказали, что треугольники АОD и ВОС равнобедренные. ОМ и ОК являются медианами этих треугольников соответственно по определению . Вспомним свойство равнобедренного треугольника : медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является и высотой треугольника.
Вследвствие перпендикулярности основаниям частей прямой КМ, ось симметрии перпендикулярна основаниям.
Признаки, выделяющие равнобокую трапецию среди всех трапеций:
Теорема 15
. Если углы, прилежищие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 16
. Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 17
. Если продолженные до пересечения боковые стороны трапеции образуют вместе и её большим основанием равнобедренный треугольник, то трапеция равнобокая.
Теорема 18
. Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобокая.
Признак прямоугольной трапеции:
Теорема 19
. Всякий четырехугольник, у которого только два угла при смежных вершинах прямые, является прямоугольной трапецией (очевидно, что две стороны параллельны, т.к. односторонние равны. в случае, когда три прямых угла это прямоугольник)
Теорема 20
. Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты основания.
Доказательство этой теоремы заключается в объяснении того, что радиусы проведенные к основаниям лежат на высоте трапеции. Из точки О - центра вписанной в данную трапецию АВСD окружности проведем радиусы в точки касания её основаниями трапеции. Как известно, ридиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касатыльной, поэтому ОК^
ВС и ОМ^
AD. Вспомним теорему: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Значит, прямая ОК также перпендикулярна AD. Таким образом, через точку О проходит две прямых перпендикулярных прямой AD, чего быть не может, поэтому эти прямые совпадают и составляют общуй перпендикуляр КМ, который равен сумме двух радиусов и является диаметром вписанной окружности, поэтому r=KM/2 или r=h/2.
Теорема 21
. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.
Доказательство:
Пусть ABCD - данная трапеция, а AB и CD - её основания. Пусть
также AH - высота, опущенная из точки A на прямую CD. Тогда S ABCD = S ACD + S ABC .
Но S ACD = 1/2AH·CD, а S ABC = 1/2AH·AB.
Следовательно, S ABCD = 1/2AH·(AB + CD).
Что и
требовалось доказать.
Вторая формула перешла от четырехугольника.
\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]
Определения
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.
Теоремы: свойства трапеции
1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\) .
2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.
Доказательство
1) Т.к. \(AD\parallel BC\) , то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\) , следовательно, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\) .
2) Т.к. \(AD\parallel BC\)
и \(BD\)
– секущая, то \(\angle DBC=\angle
BDA\)
как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\)
как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\)
.
Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\) . Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\) . Тогда: \
Определение
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство*
1) Докажем параллельность.
Проведем через точку \(M\) прямую \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N"\) - середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N"\) совпадут.
2) Докажем формулу.
Проведем \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Пусть \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\) .
Тогда по теореме Фалеса \(M"\) и \(N"\) - середины отрезков \(BB"\) и \(CC"\) соответственно. Значит, \(MM"\) – средняя линия \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) - средняя линия \(\triangle DCC"\) . Поэтому: \
Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB", CC"\perp AD\) , то \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B"M"=M"B\) . Значит, \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M"N"=B"C"=BC\) .
Таким образом:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
Теорема: свойство произвольной трапеции
Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.
Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .
Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]
Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]
Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\) . Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .
2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.
Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]
Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]
Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .
\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]
Определения
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Теоремы: свойства равнобедренной трапеции
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.
Доказательство
1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .
Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .
2)
Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .
3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.
Теоремы: признаки равнобедренной трапеции
1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство
Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .
Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .
В итоге \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.
2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .
Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи - пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен.
Трапеция. Определение, формулы и свойства
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον - «столик»; τράπεζα - «стол, еда») - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.Трапеция - четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.
Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.
Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие - боковыми сторонами.
Трапеции бывают:
- разносторонние ;
- равнобокие ;
- прямоугольные
.Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим - основания трапеции.
A - равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция
B - прямоугольная трапеция
C - разносторонняя трапеция
У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.
У боковые стороны равны, а основания параллельны.
У основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона - наклонная к основаниям.
Свойства трапеции
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей , равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина
- Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
- Точка пересечения диагоналей трапеции , точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
- Треугольники, лежащие на основаниях трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными. Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции
- Треугольники, лежащие на боковых сторонах трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
- В трапецию можно вписать окружность , если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
- Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)
Углы трапеции
Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые .Прямыми бывают только два угла.
У прямоугольной трапеции два угла прямые , а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.
Тупые углы трапеции принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию.
Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник
, у которого линия сечения параллельна основанию треугольника.
Важно
. Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.
Как найти стороны и диагонали трапеции
Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:
В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.
a - меньшее из оснований трапеции
b - большее из оснований трапеции
c,d - боковые стороны
h 1 h 2 - диагонали
Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)